Gerbang logika dan Aljabar Boolean

Gerbang Logika & Aljabar Boolean #2

Peran Aljabar Boolean & Gerbang Logika(slide 1)

Gerbang Logika atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Logic Gate adalah dasar pembentuk Sistem Elektronika Digital yang berfungsi untuk mengubah satu atau beberapa Input (masukan) menjadi sebuah sinyal Output (Keluaran) Logis. Gerbang Logika beroperasi berdasarkan sistem bilangan biner yaitu bilangan yang hanya memiliki 2 kode simbol yakni 0 dan 1 dengan menggunakan Teori Aljabar Boolean. Gerbang logika adalah piranti dua keadaan, yaitu mempunyai keluaran dua keadaan: keluaran dengan nol volt yang menyatakan logika 0 (atau rendah) dan keluaran dengan tegangan tetap yang menyatakan logika 1 (atau tinggi). Gerbang-gerbang logika yang khususnya dipakai di dalam sistem elektronika digital, dibuat dalam bentuk IC (Integrated Circuit) yang terdiri atas transistor-transistor, diode, relay dan komponen-komponen lainnya. Gerbang-gerbang logika ini mempunyai bentuk-bentuk tertentu yang dapat melakukan operasi-operasi INVERS, AND, OR serta NAND, NOR, dan XOR (Exclusive OR). NAND merupakan gabungan AND dan INVERS sedangkan NOR merupakan gabungan OR dan INVERS. Aljabar Boolean dapat disusun menjadi rangkaian logika, dimana suatu rangkaian logika dapat terdiri dari satu atau lebih gerbang logika. 

Aljabar Boolean juga dapat diekspresikan dalam bentuk maksterm ataupun minterm. Fungsi Boolean terkadang mengandung operasi-operasi yang tidak diperlukan dan suku-suku yang berlebihan, sehingga fungsi tersebut dapat disederhanakan. Menyederhanakan fungsi Boolean bertujuan untuk mencari fungsi dalam bentuk lain yang ekuivalen tetapi dengan jumlah operasi atau suku yang lebih sedikit. Perbedaan yang sangat signifikan dapat ditemukan antara fungsi Boolean yang belum dan telah disederhanakan. Penyederhanaan fungsi Boolean memiliki penerapan penting dalam perancangan sirkuit logika.

Cara menyederhanakan persamaan Logika (Slide 2)

1. Sum of Product Form

Metode penyederhanaan rangkaian logika salah satunya adalah SOP (Sum of Product)

Contoh : 

Setiap pernyataan dalam bentuk sum of products terdiri dari dua atau lebih operasi AND yang semuanya di OR kan

2. Product of Sum

Bentuk persamaan logika juga menggunakan POS (Products of Sum). Teridiri dari 2 atau lebih operasi OR yang kemudian di AND kan.

Contoh :

3. Algegraic Simplification

Sebuah pernyataan boolean dapat kita sederhanakan bentuknya dengan menggunakan banyak cara, pernyataan yang baru digunakan untuk mengimplementasikan sebuah rangkaian yang sama dengan rangkaian asli, tetapi memiliki gerbang dan koneksi yang lebih sedikit.

Langkah-langkah:

Menggunakan teori demorgan – > Menghasilkan SOP

Rangkaian sederhana:

3. Bentuk kanonik Dalam Aljabar Boolean (Slide 3)

Pengertian

Bentuk Kanonik merupakan Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP (Sum of Product) atau POS (Product of Sum) dengan minterm/maxterm. Kanonik memiliki literal yang lengkap. Sedangkan bentuk baku merupakan Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang tidak lengkap. Untuk dalam memahami secara lengkap SOP (Sum of Product) diistilahkan dengan jumlah dari hasil perkalian. POS (Product of Sum) diistilahkan dengan perkalian dari hasil penjumlahan.

Tabel Boolean Bentuk Ikonik Dan Baku

Tabel kebenaran adalah tabel yang memuat semua kemungkinan atau kombinasi masukan serta keluaran dari kombinasi tersebut. pada umumnya tabel kebenaran yang memiliki nilai “n” masukan mempunyai “2n”. untuk dapat memahami table tersebut, berikut table kebenaran :

Contoh 1 :

Membuat ekspresi Boolean dalam bentuk SOP dan POS dari tabel kebenaran ini :

Penyelesaian :

a. Dalam bentuk SOP, maka yang dilihat adalah Y = 1

b. Dalam bentuk POS, maka yang dilihat adalah Y = 0

Sum Of Product

Sum Of Product atau disebut minterm adalah penjumlahan dari hasil perkalian yang dimana setiap sukunya merupakan hasil operasi perkalian, kemudian satu suku dengan suku yang lainnya dipisahkan oleh operator penjumlahan.

Persamaan bentuk SOP terbentuk dari dua atau lebih gerbang logika AND yang kemudian di OR kan di dalam tanda kurung, kemudian di dalam tanda kurung tersebut bisa jadi terdiri dari dua buah variabel maupun lebih. Secara sederhana dapat dijelaskan bahwa SOP merupakan bentuk persamaan yang menjalankan operasi OR terhadap AND.

Berikut adalah contoh rangkaian persamaan SOP:

Product of Sum (POS)

Persamaan bentuk Product of Sum (POS) terbentuk dari dua atau lebih gerbang logika OR yang kemudian diAND-kan, dalam persamaan ini dapat berisi dua atau lebih variabel.Secara sederhana dapat dijelaskan bahwa POS merupakan bentuk persamaan yang menjalankan operasi AND terhadap keluaran-keluaran OR.

Berikut adalah contoh Rangkaian Product of Sum (POS)

4. Contoh soal SOP & POS (Slide 4)

Contoh soal:

Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

Penyelesaian:

(a) SOP

x = x(y + y’)

     = xy + xy’

     = xy (z + z’) + xy’(z + z’)

     = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’

          y’z = y’z (x + x’)

     = xy’z + x’y’z

     Jadi f(x, y, z) = x + y’z

           = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z

                      = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz

     atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = S (1,4,5,6,7)

(b) POS

 f(x, y, z) = x + y’z

                = (x + y’)(x + z)

 x + y’ = x + y’ + zz’

            = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)

 x + z = x + z + yy’

            = (x + y + z)(x + y’ + z)

 Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)

              = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

 atau f(x, y, z) = M0M2M3 = Õ(0, 2, 3)